Osnovno o matematicckim natjecanjima

Mala povijest natjecanja

U svakoj populaciji od 500 000 tisucha ljudi nalaze se potencijalni ssampioni u raznim sportovima, vrhunski muziccari, znanstvenici itd. Kad je u pitanju matematika, posebno je vazzna rana identifikacija uccenika, poticaj i ohrabrenje u radu, suoccavanje s kreativnim izazovima te kontakti s uccenicima sa sliccnim sklonostima.

Svaka zemlja nastoji kroz organizaciju svojeg obrazovanja osigurati uvjete da takve potencijalne moguchnosti postanu i stvarne. Jedan od naccina da se to ostvari je kroz razna natjecanja u matematici, kojima sposobni i radini uccenici sticcu moguchnost da se istaknu meddu svojim kolegama. Time se razvija zdrav natjecateljski duh.

Jasno je da takva aktivnost spada u one od posebnog drusstvenog interesa. Cilj matematicckih natjecanja nije, razumije se, da dobivamo samo dobre matematiccare. Radne navike steccene kroz natjecanja, sistematiccnost u radu, upornost i kriticcnost bit che mladom ccovjeku od koristi u buduchem zanimanju, svejedno kojem.

Prvo zabiljezzeno natjecanje u matematici odrzzano je u Maddarskoj joss 1894. godine. U bivssoj Jugoslaviji je prvo takvo natjecanje odrzzano u Makedoniji godine 1950, a prvo savezno natjecanje 1960. godine. Ssto se ticce osnovnih sskola, savezna natjecanja su zapoccela 1970.

Na meddunarodnom planu su prve aktivnosti zapoccele meddu istoccnim zemljama, i to u Rumunjskoj, gdje je odrzzana Prva meddunarodna matematiccka olimpijada 1959., istina, uz nazoccnost svega nekoliko zemalja.

Bivssa Jugoslavija se vrlo brzo, vech 1963. godine, prikljuccila tom pokretu. Natjecanja se odrzzavaju svake godine, i u stalnoj su ekspanziji, tako da se danas vech mozze slobodno govoriti o jednom svjetskom pokretu o kojem se vodi posebna briga u meddunarodnim obrazovnim institucijama. Svakako jedna od najznaccajnijih je "World Federation of National Mathematics Competitions", sa sjedisstem u Canberri, cciji glavni pokretacc je bio pokojni predsjednik prof. Peter O'Halloran. Prije dvije godine ta je organizacija zapoccela s izdavanjem ccasopisa "Mathematiss competitions", u kojem suradduju brojni specijalisti iz raznih zemalja, razvijenih i nerazvijenih.

Sve do 1984. g. pripreme i voddenje ekipe bivsse Jugoslavije vodila je neprekinuto ekipa profesora iz Beograda: prof. Vladimir Miccich, dr. Zoran Kadelburg, dr. Vladimir Jankovich i drugi. Nakon 1984. godine organizacija je pressla na Zagreb (mr. Zzeljko Hanjss, mr. Uross Milutinovich te autor ovog napisa), a od 1989 na kolege iz Sarajeva (prof. Hamid Kulosman, Focca). Time su i drugi centri u raspadajuchoj Jugoslaviji "stekli" moguchnost da se upoznaju s ovom vrstom obrazovne djelatnosti.

Meddunarodne olimpijade

Zadrzzimo se jedan trenutak na tome kako se organiziraju meddunarodne Olimpijade u matematici. Postoji posebna meddunarodna komisija koja ima zadatak da brine o tome tko che u iduchih nekoliko godina biti domachin Olimpijade. Obveza je svake zemlje--organizatora da uputi pozive svim zemljama koje su na prethodnim Olimpijadama sudjelovale, bez obzira ima li s njima diplomatske odnose ili ne. Godine 1990. godine domachin bila Kina, koja, iako na natjecanjima sudjeluje svega nekoliko godina, spada vech u svjetsku natjecateljsku elitu, zajedno sa SSSR-om, Rumunjskom, Njemacckom i SAD-om.

Ekipu svake zemlje ccini ssest uccenika (nekada, kad je broj zemalja sudionica bio manji, taj je broj bio osam), te dva voditelja. Jedan od njih je zaduzzen da sudjeluje u radu meddunarodnog zzirija kojeg ccine po jedan predstavnik iz svake zemlje. Zziri treba odabrati ssest zadataka iz skupine od oko pedeset do stotinu prijedloga koji stignu domachinu nekoliko mjeseci prije natjecanja. Taj je posao zaccuddujuche spor i kompliciran (traje dva dana) u prvom redu jer zziri komunicira na ccetri svjetska jezika (domachin je duzzan osigurati za tu priliku i prevoditelje), zatim zbog koliccine predlozzenih zadataka.

Posebna se pazznja poklanja formulaciji problema, za razne prijedloge se obavljaju glasanja za i protiv. Redoslijed zadataka je obiccno od laksseg prema tezzem (kao i na nassim natjecanjima).

Nastoji se da meddu tih ssest olimpijskih zadataka bude svakako uvrssten jedan lakssi zadatak kojim se omoguchuje zemljama s vrlo malim ili nikakvim meddunarodnim iskustvom da osvoje neke bodove. Primjetno je da s jedne strane imamo zemlje cciji je ukupni zbir bodova (gotovo) nula, dok su onim najjaccima (kojima je uspjeh na natjecanju i pitanje nacionalnog prestizza) zadatci najccessche prelagani. Za meddunarodni zziri je to iz godine u godinu sve vechi problem. Naime financiranje ovakvih aktivnosti u pravilu ovisi o ostvarenim rezultatima, ccime su mnoge od novih nerazvijenih zemalja uslijed svog neiskustva i nedovoljne organizacije jako hendikepirane.

Kad su, neposredno uocci natjecanja, zadatci otipkani na jezicima svih zemalja, priredduje se neobiccno zanimljiva izlozzba zadataka, na najrazliccitijim jezicima. Posebno su zanimljivi tekstovi zadacha nekih arapskih zemalja, gdje se ccak i matematiccki izrazi pissu s desna na lijevo (npr. $\pi^2r=P$ ili $(x)f=y$), i to arapskim slovima. K tome se u Maroku i drugim frankofonskim arapskim zemljama tekst pisse s desna na lijevo, a formule kao kod nas, uobiccajenim slovima s lijeva na desno.

Zadatci se rjessavaju tijekom dva dana, svaki dan po tri, i to kroz $4.5$ sata. Na natjecanju se u pravilu nagradduje oko pola od ukupnog broja uccenika, sa brojem prvih, drugih i trechih nagrada u priblizznom omjeru 1:2:3. Od nedavno je uvedena i pohvala, koja se dodjeljuje za barema jedan potpuno rjessen zadatak, ako nema dovoljno bodova za nagradu.

Obiccaj je da u toku natjecanja voditelji ekipa razmijene zadatke koje su koristili na svojim nacionalnim natjecanjima.

Na meddunarodnim olimpijadama danas sudjeluje preko sedamdest zemalja (u Argentini su 1997. bile 82 zemlje). Uslijed toga je organizacija natjecanja danas vrlo kompliciran i skup poduhvat. Ona se sve visse provodi uz sponzorstvo mochnih kompanija. Npr. glavni sponzor Olimpijade u Australiji 1987. g. bio je IBM, koji nije skrivao svoj golem interes prema mladim struccnjacima upravo iz oblasti primijenjene matematike. Sponzori su u velikoj mjeri omoguchili da se kasnije kroz financiranje ozzivi u prvom redu izdavaccka djelatnost (knjige, zbirke zadataka, ucceniccki ccasopisi) bez koje je ozbiljan pristup natjecanjima nezamisliv.

Za najbolje natjecatelje se kompanije otimaju da im ponude svoje stipendije za studij. Ostala mi je u sjechanju jedna efektna reklama IBM--a u kojoj se isticce da novac ulozzen u mlade mozgove nije izgubljen novac. Od industrijski razvijenih zemalja do 1992. g. jedino Japan nije sudjelovao na matematicckim olimpijadama.

Domachin se uvijek trudi da pored samog natjecanja pruzzi moguchnost gostima da upoznaju zemlju domachina. Redovita su primanja kod saveznih ministarstava za prosvjetu, nerijetko i kod najvissih drzzavnih tijela, ssto samo potvrdduje ugled kojeg ta meddunarodna manifestacija ima u svijetu.

Treba napomenuti da se pojam srednjosskolca u pojedinim zemljama u svijetu jako razlikuje. Tako che npr. u nekim zemljama zapadne Europe uccenik koncem srednje sskole imati u normalnom redovnom obrazovanju do ukljuccivo dvadeset godina. Upada u occi da su sovjetski natjecatelji bitno mladdi od ostalih: njihov uzrast je maksimalno 17 godina. Niti jedan uccesnik meddunarodne Olimpijade ne smije imati visse od dvadeset godina.

Naravno, svako natjecanje ima svoje junake. Nije se joss dogodilo da neki od predlozzenih zadataka ne bude rijessen. Sumnjam da je meddu natjecateljima netko stekao vechu popularnost nego Terence Tao, mali kosooki djeccaccich iz Australije, koji se pocceo natjecati sa svojih devet godina, osvojivssi na tri uzastopne olimpijade u kategoriji srednjosskolaca redom trechu, drugu i prvu nagradu (u Varssavi, Havani i kod kuche u Canberri 1987.).

Regionalna natjecanja

Spomenimo da se u toku posljednjih dvadesetak godina organiziraju mnoga regionalna natjecanja, koja che se sasvim sigurno i dalje ssiriti. Navedimo samo takmiccenje izmeddu Poljske i Austrije, koje je nastalo kao plod meddudrzzavnog sporazuma (voditelj Austrijske nacionalne ekipe je Gradisschanski Hrvat, prof. M\"uhlgassner), zatim Ibero-americcko natjecanje (za Juzznu Ameriku, Sspanjolsku i Portugal), natjecanje zemalja Magreba (biv\v se francuske kolonije u Africi), Nordijsko natjecanje, Balkanijadu te od prossle godine Azijsko-Pacificcko natjecanje.

Poccetkom svibnja 1989. odrzzana je u Splitu Balkanska olimpijada, ssesta po redu. Mozze se rechi da je njena organizacija po svemu bila do sada najuspjessnija. Prema tezzini zadataka koje su uccenici rjessavali, splitsko natjecanje je bilo tezze od same Meddunarodne Olimpijade (to su izjavili sami uccenici i voditelji). Treba rechi da Balkanska olimpijada ima za jedan od ciljeva da posluzzi kao priprema za svjetsko natjecanje u matematici. Rumunjska i Bugarska ssalju na to natjecanje ekipu koja je momentalno najbolji ssesterac odabran iz ssireg kruga od oko 25 kandidata, tako da se ekipe na svjetskom natjecanju znaju pojaviti znatno izmijenjene. Upada u occi da su voditelji Rumunjske ekipe iz reda istaknutih svjetskih znanstvenika (npr. prof Octavian Stanassila, prof. Viorel Barbu, koji je i sam bio natjecatelj na prvoj Matematicckoj olimpijadi 1959.). Rumunji su po svojim rezultatima na natjecanjima u samom svjetskom vrhu, a o njihovoj snazi rjeccito govori i to da su na Balkanskoj olimpijadi u Ateni 1987. g. svi njihovi uccenici osvojili sve moguche bodove, a te godine bili su i svjetski prvaci.

Svake godine starta nekoliko meddunarodnih ljetnih sskola iz matematike za srednjosskolce, npr. u Washingtonu, Nici, Moskvi i Tallinu. Treba rechi da programe pripremaju vrhunski specijalisti. Cijene su meddutim za nasse uvjete gotovo sasvim nepristupaccne.

Spomenimo da se u svijetu odrzzava visse natjecanja na temu informatike, koje su u svojoj biti takodder matematiccka natjecanja (logika, algoritmi, realizacija na rucccunalu).

Pripreme za meddunarodna natjecanja

Na posljednjoj meddunarodnoj Olimpijadi u Braunschweigu je prof. Engel u zavrssnoj rijecci spomenuo primjer jednog izraelskog matematiccara kojem je prilikom gostovanja u SAD neki birokrat zabranio da objavi svoje rezultate iz teorije kodiranja zbog navodnog interesa za nacionalnu sigurnost.

Iako su materijali koji se koriste za pripreme natjecatelja dostupni svima, ipak je naccin rada s uccenicima dosta tajnovit. Prof. Engel je predlozzio da se omoguchi zemljama s manjim iskustvom da prime u goste specijaliste iz drugih zemalja koji bi im u pripremama mogli pomochi. Prvi korak u tom smjeru je vech napravljen publiciranjem specijalnog dodatka ccasopisu "Mathematics competitions" u kojem je opisano dosta detaljno kako se u Njemacckoj vrssi odabir najboljeg ssestorke uccenika.

Selekcija se provodi u tri kruga, i to pod patronatom samog predsjednika drzzave (dr. H. Kohla). Na izboru zadataka radi posebna komisija, koja osobitu pazznju poklanja formulaciji. Najprije se svakom od oko 3000 prijavljenih uccenika pismom possalju ccetiri zadatka, koje uccenici rjessavaju kod kuche tijekom dva mjeseca. Svaki uccenik potpisuje posebnu izjavu kojom garantira da je zadatke rjessavao potpuno samostalno. Occekuje se da u odgovoru bude spomenuta i sva korisstena literatura.

Rjessenja uccenika se pregledavaju tako da se na vechi broj adresa struccnjaka possalju zadache na ocjenu. Zatim se sve zadache ponovno ssalju istim ocjenjivaccima na ponovno ocjenjivanje, ali tako da nitko ne gleda opet iste zadache. Ako je na nekoj zadachi znatno odstupanje u oba bodovanja, pristupa se trechem bodovanju. Time se postizze maksimalna toccnost i objektivnost u ocjenjivanju.

U drugi krug se plasiraju samo oni uccenici koji su osvojili prvu i drugu nagradu (ssto podrazumijeva barem tri potpuno rijessena zadatka). Natjecanje u drugom je potpuno isto kao u prvom krugu, jedino ssto su zadatci mnogo tezzi i kriterij znatno osstriji. Za plasman u trechi krug uccenici trebaju rijessiti sve zadatke. Uccenik mozze ostati bez nagrade, recimo, ako nije dovoljno jasno definirao oznake koje koristi, ili zbog stilskih pogressaka.

Trechi (zavrssni) krug obavlja se usmeno, pred komisijom od samo dva cclana, profesorom na srednjoj sskoli i nastavnikom na sveuccilisstu, kroz razgovor koji traje oko jedan sat.

Navedimo za ilustraciju dva zadatka iz prvog kruga:

1. U trokutu su $h_a$, $h_b$ i $h_c$ visine i $r$ radijus upisane kruzznice. Dokazzi da je trokut jednakostraniccan ako i samo ako je

   $$
   h_a+h_b+h_c=9r
   $$
   

2. Neka su $a_1$, $b_1$, $c_1$, $d_1$ proizvoljni cijeli brojevi. Definirajmo rekurzivno ccetiri niza sa:

   $$
   \alignat 2
   a_{n+1}&=|a_n-b_n|,&\quad b_{n+1}&=|b_n-c_n|,\\
   c_{n+1}&=|c_n-d_n|,&\quad d_{n+1}&=|d_n-a_n|.
   \endalignat
   $$
   

   Dokazzi da postoji cijeli broj $k$ takav da je $ a_k=b_k=c_k=d_k=0 $.

1. Neka su $x$ i $y$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $2x^2+x=3y^2+y$. Dokazzi da su $x-y$, $2x+2y+1$ i $3x+3y+1$ potpuni kvadrati.
2. Na kruzznici je dano $3k$ toccaka koje odredduju $k$ lukova duljine 1, $k$ lukova duljine 2 i $k$ lukova duljine 3. Dokazzi da meddu tim tocckama uvijek postoje dvije koje su dijametralno suprotne.

Donekle sliccan odabir vrssi se u Cehoslovacckoj. Zadatci se ssalju ssest puta godissnje, svaki puta po pet, a rjessenja se occekuju kroz tri do ccetri tjedna. Najboljih 30 do 40 uccenika poziva se tri puta na godinu u kamp na tjedan dana. Nastoji se da uccenici ne rade samo matematiku, nego da se bave i sportom, planinarstvom itd. Natjecanje je neobiccno popularno u cijeloj zemlji.

S obzirom na vrlo kratak ``stazz'' najspektakularniji su rezultati koje na natjecanjima postizze Kina. Ona obavlja odabir uccenika po americckom sistemu, koji se koristi u oko 25 zemalja, s ciljem da se izvrsse objektivne usporedbe o kvaliteti sskolskih sistema u raznim zemljama na istim (ili analognim) testovima. Kina na temelju takvih natjecanja formira ssiri izbor od oko 20 uccenika, ssest mjeseci uocci Olimpijade. Oni se zatim pozivaju u Peking gdje se formira specijalan razred koji radi po posebnom programu s intenzivnim radom na matematici (uz sve ostale predmete). Krajem svakog tjedna se odrzzava interno natjecanje u matematici, a neposredno prije Olimpijade i ccessche.

U bivssem SSSR-u pripreme najjacce ekipe su se obavljale uz vodstvo jednog od najistaknutijih sovjetskih struccnjaka, matematiccara svjetskog glasa prof. Boltjanskog. Razumije se, tu je i ccitav niz suradnika, entuzijasta, i institucija, od uccitelja u sskolama do sveuccilissta i raznih ccasopisa koji pomazzu u tome da se pod brigom najboljih struccnjaka formira najjacca nacionalna ekipa. Ista je situacija i u drugim matematicckim velesilama. Sve industrijske velesile su takve.

U SSSR-u, Rumunjskoj, Bugarskoj, V. Britaniji, Njemacckoj i SAD-u pripreme traju po mjesec dana. U Hrvatskoj pripreme se odrzzavaju 3-4 tjedna.

U nizu zemalja, pa tako i u Hrvatskoj, pored natjecateljskih susreta odrzzavaju se i razni kampovi, ljetne sskole za ssiri izbor uccenika. U Hrvatskoj se ljetna sskola mladih matematiccara odrzzava obiccno negdje na moru: Preko na otoku Ugljanu kod Zadra, Beli na Cresu, a zadnjih godina u Dubrovniku.

Meddu istoccnim zemljama je vrlo popularan tzv. turnir gradova, gdje uccenici ssalju rjessenja zadataka koje predlazze meddunarodna komisija u Moskvi okupljena u ccasopisu Kvant. Pri tom su zaista mali gradovi ravnopravni s onim milijunskim, jer se u ukupnom skoru po jednom gradu uzima u obzir i broj stanovnika. Odgovori se ssalju u Kvant. Evo dva primjera za ilustraciju:

1. Dokazzi da je za svaki prirodan broj $n$ ispunjeno

   $$
   \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\dots\sqrt{n}}}}<3.
   $$
   

2. Krug radijusa 1 je pokriven sa 7 identiccnih krugova. Dokazzi da su njihovi radijusi barem $\frac12$.

U SAD-u je neobiccno popularan matematiccki susret u Philadelphiji koji se, zbog velikog interesa uccenika odrzzava istodobno u joss jednom gradu. Natjecanja su zaccinjena raznim drusstvenim i sportskim igrama koje unose veliku zzivost meddu uccenike. Nekoliko primjera:

Broj $n$ je vissekratnik od 7. U binarnom sustavu njegov prikaz neka je $$ n=10110101010101ABC110. $$ Izraccunajte $A,B,C$ (Vrijednost za $A,B,C$ su $0$ ili $1$).

2. Zadani su brojevi $A,B,C\in \{0,1,\dots,9\} $. Naddite najmanji prirodni broj $ABC$ takav da posljednja znamenka aritmeticcke sredine brojeva $ABC$, $ACB$, $BAC$, $BCA$, $CAB$ i $CBA$ jednaka $5$.

3. Srednjica trapeza dijeli trapez na dva dijela cciji omjer povrssina je $1:2$. Nachi omjer duljina krache i dulje osnovice trapeza.

U svijetu se odrzzavaju i meddunarodni kongresi o olimpijskim pripremama uccenika u matematici. Treba jasno podcrtati golemu vazznost rada uccitelja i nastavnika s uccenicima. Bez podloge koju oni daju u svojim sskolama nemoguche je zamisliti kvalitetan rad s uccenicima.

Veliku vazznost za poboljssanje razine nastave matematike u osnovnim i srednjim sskolama imaju edicije koje su se zadnjih godina pojavile u izdanju poduzecha Element. Uccenici i prosvjetari che tu nachi mnogo zanimljivog i vrijednog.

Poccevssi od 1990. g. u Zagrebu je odrzzano nekoliko zanimljivih susreta cciji su organizatori bivssi uccenici zagrebacckog MIOC-a, Sinissa Slijepccevich i Miran Bozziccevich. Njihovim entuzijazmom je u Zagrebu odrzzano nekoliko republicckih susreta i mini seminara. Uccenici su bili smjessteni kod svojih kolega. Veliku pozzrtvovnost su pokazali i neki studenti, u prvom redu Ivica Keglevich, Miljenko Huzak i drugi. Organizirani su i matematiccki vikendi (dr. Darko Veljan).

U poslovima oko natjecanja najvisse su traga u posljednja tri desetljecha ostavili prof. dr. Vladimir Volenec te prof. dr. Zdravko Kurnik. Kroz njihove ruke prossle su tisuche uccenika.

Mislim da che ccitatelju biti zanimljivo da proccita neka od imena bivssih natjecatelja u matematici iz Hrvatske: akademik Vladimir Paar, prof. dr Vladimir Volenec, prof. dr. Branko Najman, prof. dr. Zvonko Ccerin, prof. dr. Nikola Sarapa, prof. dr. Dragan Miliccich, prof. dr. Damir Hencc, prof. dr. Dragutin Svrtan, prof. dr. Darko Veljan, prof. dr. Mirko Primc, prof. dr. Ssime Ungar, prof. dr. Ljubo Marangunich, prof. dr. Marko Tadich, prof. dr. Juraj Ssiftar, prof. dr. Neven Elezovich, prof. dr. Ivan Mirkovich, prof. dr. Darko Skorin, prof. dr. Mladen Bestvina, dr. Mladen Lukssich, prof. dr. Goran Savin, prof dr. Robert Manger, dr. Uross Milutinovich, dr. Pavle Mardessich, dr. Pavle Pandzzich, dr. Nenad Antonich, dr. Ivica Keglevich, dr. Miljenko Huzak, mr. Zzeljko Hanjss, prof. Mirela Kurnik, prof. Maja Cvitkovich, mr. Mea Bombardelli, mr. A. Aglich, dr. Sinissa Slijepccevich, autor ovog napisa itd. Kao ssto sigurno primjechujete, znatan dio danas aktivnih matematiccara je prossao natjecateljsku sskolu. Za vechinu gore navedenih osoba je natjecateljski stimulans bio znaccajan (nerijetko presudan) u odluci da se posvete matematici. Spomenimo da dio njih radi u inozemstvu.

Ovo je tek djelich popisa ograniccen samo na one koji su se posvetili matematici, i to uglavnom za Zagreb. Taj bi popis bio i znatno ssiri da smo ukljuccili joss i one koji rade, recimo, u elektrotehnici i drugdje. Popis koji smo Vam predoccili trebao bi posluzziti kao potvrda za to kako se iz masovnosti radda kvaliteta.

Spomenimo da su se poccektom 90tih godina na inicijativu prof. Vinka Bajrovicha iz Splita, u Dalmaciji, a uskoro i u cijeloj drzzavi, poccela odrzzavati natjecanja za ccetvrti, peti i ssesti razred osnovne sskole koja su stekla veliku popularnost.

U mnogim se zemljama odrzzavaju i studentska natjecanja u matematici: studentske olimpijade u SSSR-u, Putnam-natjecanje u SAD itd.