Matrične transformacije ravnine vizualizirane

Darko Žubrinić
Zavod za primijenjenu matematiku, FER, Zagreb, 2020. (prva inačica 2003.)

---

Svakoj točki ravnine s koordinatama \((x,y)\) pridružujemo točku druge ravnine s koordinatama \((x',y')\), koje računamo na sljedeći način:

\begin{aligned} x'&= a x + b y\\ y'&= c x + d y. \end{aligned}

Koeficijenti \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) su unaprijed zadani realni brojevi. Odabiru se po volji, i grupiramo ih u matricu \(\mathbf A\):

\begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} a&b\\ c&d \end{matrix} \right]. \end{equation}

Gornju transformaciju možemo kraće prikazati kao preslikavanje (linearni operator) \(\mathbf{A} : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) opisano sa $$ v'=\mathbf{A}v, $$

gdje je $$ v=\left[\begin{matrix}x\\y \end{matrix}\right],\quad v'=\left[\begin{matrix}x'\\y' \end{matrix}\right]. $$ U daljnjem ćemo vektore stupce \(v\) označavati s \(v=(x,y)^{\top}\), gdje je \(\top\) operacija transponiranja, kojom redak (x,y) postaje stupac: $$ (x,y)^{\top}=\left[\begin{matrix}x\\y \end{matrix}\right]. $$ (Općenitije, transponiranjem matrice \(\mathbf A\), redci od \(\mathbf A\) postaju redom stupci transponirane matrice \(\mathbf A^{\top}\).)

• Ako uzmemo kanonsku bazu \(\mathbf i=(1,0)^{\top}\), \(\mathbf j=(0,1)^{\top}\) u ravnini \(\mathbb{R}^2\), onda je \begin{aligned} \mathbf{Ai}&=a\mathbf i+c\mathbf j\\ \mathbf{Aj}&=b\mathbf i+d\mathbf j. \end{aligned}

  Komponente vektora \(\mathbf{Ai}\) i \(\mathbf{Aj}\) (u kanonskoj bazi) su prema tome upravo vektori stupci matrice \(\mathbf A\), pa možemo uvjetno pisati da je \(\mathbf A=[\mathbf{Ai},\mathbf{Aj}]\).

---

S obzirom na regularnost matrice \(\mathbf A\) imamo ove dvije mogućnosti.

• Matrica \(\mathbf A\) je regularna (ili invertibilna), tj. postoji \(\mathbf{A}^{-1}\). Invertibilnost matrice je ekvivalentna s uvjetom da je \(\det\mathbf{A}\ne0\). Onda je transformacija ravnine bijektivna, i obratno. Ako transformiramo neki lik u ravnini \((x,y)\), onda će svi "bitni" detalji nakon preslikavanja ostati sačuvani. Bijektivnost transformacije znači da nema lijepljenja različitih točaka u istu (injektivnost), i sve točke u dolaznoj ravnini su pogođene (surjektivnost).
• Matrica \(\mathbf{A}\) je singularna (ili neinvertibilna, tj. neregularna), ili ekvivalentno tome, determinanta matrice jednaka je nula, tj. \(\det\mathbf{A}=0\). U tom slučaju onda dolazi do drastične promjene slike. Rang matrice je strogo manji od maksimalnog, tj. \(r(\mathbf{A}) <2\). Moguća su dva slučaja:
  • \(r(\mathbf{A}) = 1\). Ako je rang matrice \(\mathbf A\) jednak \(1\), onda je preslikani skup jednodimenzionalan. Točnije, cijela ravnina transformira se u neki pravac kroz ishodište. To će se dogoditi kada nisu svi koeficijenti jednaki nula, i redci matrice su proporcionalni s istim faktorom proporcionalnosti, tj. \(a/c = b/d\) (jer je to ekvivalentno sa \(\det \mathbf A = ad - bc = 0\)). Isto vrijedi i za stupce.
  • Na primjer, za \(a = b = 2\), \(c = d = 1\), tj. \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 2&2\\ 1&1 \end{matrix} \right]. \end{equation} je \(x' = ax + by = 2x + 2y\), \(y' = cx + dy = x + y = \frac 12 x'\). Cijela ravnina se preslikava na pravac \(y' = \frac 12 x'\), i to je slika matrice \(\mathbf A\). Općenito je slika bilo koje matrice \(\mathbf A\) definirana kao skup vektora \(\mathbf Av\) za sve moguće vektore v, i to je uvijek vektorski podprostor. Dimenzija slike jednaka je upravo rangu matrice, tj. ovdje je \(r(\mathbf{A}) = 1\), jer je slika pravac kroz ishodište. Nul-podprostor (ili jezgra) matrice \(\mathbf A\) definira se kao skup rješenja jednadžbe \(\mathbf{A}v = 0\). Dimenzija nul-podprostora zove se defekt matrice. U ovom slučaju je \begin{equation} {\mathbf A}v= \left[\begin{matrix} 2&2\\ 1&1 \end{matrix} \right]\cdot \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}2x+2y\\x+y\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix}0\\0\end{matrix} \right], \end{equation} tj. \(x+y=0\). Kao što vidimo, nul-podprostor matrice \(\mathbf A\) je pravac \(y = -x\), pa je njen defekt jednak \(1\).
    Opću matricu \(\mathbf A\) tipa \(m\times n\) možemo shvatiti kao linearno preslikavanje iz \(\mathbb R^n\) u \(\mathbb R^m\). Zbroj defekta i ranga je za matricu \(\mathbf A\) tipa \(m\times n\) jednak \(n\) (tj. dimenziji polaznog prostora). Prema tome, ako znamo defekt matrice, onda odmah znamo njen rang, i obratno (u našim primjerima je uvijek \(n=2\)).
  Pozor! U vašem pregledniku trebate omogućiti JavaScript!
  Slika matrice je pravac \(y=\frac12 x\) (pa je rang matrice jednak \(1\), a to vidimo odmah i iz proporcionalnosti
  redaka matrice \(\mathbf A\)). Nul-podprostor matrice je pravac \(y=-x\) (pa je defekt matrice jednak \(1\)).

  Koordinatni sustav \(x'\), \(y'\) se na gornjem platnu (engl. canvas) podudara s koordinatnim sustavom \(x\), \(y\). Vektor \(v\) zadaje se povlačenjem miša. Nakon toga se za svaki vektor \(v\) skoro istoga trenutka izračunava vrijednost vektora \(Av\).
  Ako vrh vektora \(v\) (plavu točku) postavite točno na pravac \(y=2x\), onda će odgovarajća crvena točka odgovarati radij vektoru koji je tri puta dulji od radij-vektora plave točke, tj. \(\mathbf{A}v=3v\). Kažemo da je \(v\ne0\) vlastiti vektor matrice \(\mathbf{A}\), s odgovarajućom vlastitom vrijednošću \(\lambda=3\). Druga vlastita vrijednost matrice jednaka je \(0\), a njoj odgovarajući vlastiti vektori leže na pravcu \(y = -x\).

  • \(r(\mathbf A)=0\). Ako je rang jednak jednak nula, onda se cijela ravnina preslika u ishodište. To odgovara slučaju kad su svi koeficijenti matrice jednaki nula, tj. \(\mathbf A\) je nul-matrica. Sve informacije o početnom liku su izgubljene. Ne može biti drastičnije transformacije: ovom matricom je cijela ravnina 'zgnječena' u ishodište. \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 0&0\\ 0&0 \end{matrix} \right]. \end{equation}
    Cijela ravnina se preslika u ishodište. Nul-podprostor matrice \(\mathbf A=0\) je cijela ravnina, tj. \(N(\mathbf A)=\mathbb{R}^2\) (pa je defekt matrice jednak \(2\)), a slika od \(\mathbf A\) je nul-vektor \(\{0\}\) (pa je rang matrice jednak \(0\)).

Primijetite da će slučajnim odabirom svojih četriju koeficijenata matrica \(\mathbf A\) skoro sigurno biti regularna (tj. skoro sigurno će \(\det\mathbf{A}\) biti različita od nula). Točnije, može se pokazati da je vjerojatnost da je slučajnim odabirom četriju matričnih koeficijenata dobivena matrica \(\mathbf A\) regularna (tj. \(\det\mathbf A\) nije nula), jednaka jedan.

Pogledajmo neke specijalne tipove matričnih transformacija ravnine.

• Homotetija. Ovdje je \(b = c = 0\), tj. matrica \(\mathbf A\) je dijagonalna: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&d \end{matrix} \right]. \end{equation} Determinanta matrice \(\mathbf A\) je umnožak dijagonalnih elemenata, tj. \(ad\).
  • Za \(d = 1\), slobodnim odabirom koeficijenta a, dobivamo homotetiju u smjeru \(x\)-osi: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} a&0\\ 0&1 \end{matrix} \right]. \end{equation}
    
    
    • Za \(a = d = 1\) dobivamo jediničnu matricu \(\mathbf I\): \begin{equation} {\mathbf I}= \left[ \begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{matrix} \right]. \end{equation}

      a pripadna transformacija je identitet \(I : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\), koji ne mijenja ništa: \(Iv = v\).

      U slučaju jedinične matrice, \(\mathbf A=\mathbf I\), vektori \(\mathbf Av\) i \(v\) se podudaraju.
      Vrh vektora \(v\) je ispod vrha vektora \(\mathbf Av\) (tj. ispod crvenog kružića), pa se zato plavi kružić ne vidi.
      Slika te matrice je cijela ravnina \(\mathbb R^2\) (pa je rang jednak \(2\)), dok je nul-podprostor (jezgra) jednak nuli, tj. \(N(\mathbf A)=\{0\}\) (pa je defekt matrice jednak nuli).

    • Za \(|a| <1\) dobivamo kontrakciju (stezanje) u smjeru \(x\)-osi,
    • dok za \(|a| >1\) dobivamo dilataciju (rastezanje).
    • Za \(a = 0\) imamo stezanje ravnine na \(y\)-os, tj. ortogonalnu projekciju ravnine na \(y\)-os: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 0&0\\ 0&1 \end{matrix} \right]. \end{equation}
      Ortogonalna projekcija na \(y\)-os. Jezgra te matrice je \(x\)-os (pa je defekt matrice jednak \(1\)),
      a slika naravno \(y\)-os (pa je rang matrice jednak \(1\)).

      Nul-podprostor matrice \(\mathbf A\) je \(x\)-os, a slika je \(y\)-os.

    • Za \(a = -1\) dobiva se zrcaljenje ravnine s obzirom na \(y\)-os: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} -1& 0\\ \phantom{-}0&1 \end{matrix} \right]. \end{equation}
    Zrcaljenje s obzirom na \(y\)-os. Koliki su rang i defekt matrice \(\mathbf A\) u ovom i u svim daljnjim primjerima?

  • Slično, za \(a = 1\) slobodnim odabirom koeficijenta \(d\) dobivamo homotetiju u smjeru \(y\)-osi: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 1&0\\ 0&d \end{matrix} \right]. \end{equation}
    
    • Za \(|d| <1\) imamo kontrakciju u smjeru \(y\)-osi,
    • a za \(|d| >1\) dilataciju.
    • Za \(d = 0\) dobijemo ortogonalnu projekciju ravnine na \(x\)-os: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 1&0\\ 0&0 \end{matrix} \right]. \end{equation}
      Ortogonalna projekcija na \(x\)-os.

      Nul-podprostor matrice \(\mathbf A\) je \(y\)-os, a slika je \(x\)-os.

    • a za \(d = -1\) zrcaljenje s obzirom na \(x\)-os: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 1&\phantom{-}0\\ 0&-1 \end{matrix} \right]. \end{equation}
    Zrcaljenje s obzirom na \(x\)-os.

  • Moguća je i dvostruka homotetija, kada uzimamao \(b = c = 0\), a \(a\) i \(d\) su slobodni. Ovdje imamo dijagonalnu matricu \begin{equation}\mathbf{A} = \mathrm{diag}\, (a,d)=\left[ \begin{matrix} a&0\\0&d \end{matrix} \right]. \end{equation}
    • Za \(a = d\) dobivamo matricu \(A = a\mathbf{I}\), a pripadajuća transformacija je homotetija ravnine s faktorom a (svi vektori platna množe se s tom konstantom).
    • Za \(a = d = -1\) dobivamo centralnu simetriju: \begin{equation}
      {\mathbf A}=
      \left[ \begin{matrix} -1&\phantom{-}0\\ \phantom{-}0&-1 \end{matrix} \right]. \end{equation}
      Centralna simetrija (ili simetrija s obzirom na ishodište).

    • Dijagonalnom matricom se svaka kružnica sa središtem u ishodištu preslika u elipsu takvu da se okomita i vodoravna poluos elipse odnose kao \(|d|/|a|\). Ako je kružnica jedinična, duljine poluosi elipse su točno \(|d|\) i \(|a|\).
      Evo jedan primjer: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} -2.5&0\\ 0&0.7 \end{matrix} \right]. \end{equation}
      
      Regularna dijagonalna matrica prebacuje jediničnu kružnicu (zelenu) u elipsu s poluosima 2.5 i 0.7.

• Zakošenje. Matrica A je trokutasta, s jedinicama na dijagonali. Determinanta je jednaka umnošku dijagonalnih elemenata, tj. \(1\).
  • Odabiremo \(c = 0\), \(a = d = 1\): \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 1&b\\ 0&1 \end{matrix} \right]. \end{equation}

    Zakošenje. Pogledajte u što se preslikaju vektori \(\mathbf i\) i \(\mathbf j\). Dobivaju se upravo stupci matrice zakošenja.
    Karakteristični polinom je \(\kappa(\lambda)=(\lambda - 1)^2\), pa je algebarska kratnost vlastite vrijednosti \(1\) jednaka dva, dok je geometrijska kratnost (tj. dimenzija vlastitog podprostora) jednaka jedan. Geometrijska kratnost te vlastite vrijednosti se dobro vidi na gornjem platnu (vlastiti podprostor je \(x\)-os).
    • Za \(b >0\) dobivamo vodoravno zakošenje prvog kvadranta u desno (kao gore),
    • a za \(b< 0\) zakošenje prvog kvadranta u lijevo:

  • Uz odabir koeficijenata \(b = 0\), \(a = d = 1\): \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 1&0\\ c&1 \end{matrix} \right]. \end{equation}
    
    • za \(c \gt 0\) dobivamo vertikalno zakošenje prvog kvadranta prema gore:

    • a za \(c \lt 0\) dobivamo vertikalno zakošenje prvog kvadranta prema dolje:

• Ortogonalne matrice su matrice koje čuvaju duljinu vektora. Pokazuje se da onda čuvaju i okomitost vektora. Vektori stupci su im ortonormirani, tj. jedinični i okomiti (vjerovali ili ne, isto vrijedi i za vektore retke!). Postoje samo dvije vrste ortogonalnih matrica reda \(2\): to su matrica rotacije i matrica zrcaljenja s obzirom na pravac kroz ishodište.
  • Rotacija. Zakret za kut \(\varphi\) u pozitivnom smjeru (tj. suprotno od smjera gibanja kazaljke na satu) oko ishodišta dobivamo tako da stavljamo \(a = \cos\varphi\), \(b = -\sin\varphi\), \(c = \sin\varphi\), \(d = \cos\varphi\). \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} \cos\varphi&-\sin \varphi\\ \sin\varphi&\phantom{-}\cos \varphi \end{matrix} \right]. \end{equation}Ako je \(\mathbf A\) matrica rotacije, onda je \(\det\mathbf A = 1\), jer je
    $$ \det\mathbf A = ad - bc = (\cos \varphi)^2 + (\sin \varphi)^2 =1. $$

    Rotacija ravnine za \(180^{\circ}\) (tj. za \(\pi\) radijana) oko ishodišta je isto što i centralna simetrija ravnine s obzirom na ishodište.

    • Rotaciji za kut od \(\varphi = 90^{\circ}\) (tj. za \(\pi/2\) radijana) odgovara t. zv. matrična imaginarna jedinica \(\mathbf J\), kod koje je \(a = 0\), \(b = -1\), \(c = 1\), \(d = 0\): \begin{equation} {\mathbf A}={\mathbf J} = \left[ \begin{matrix} 0&-1\\ 1&\phantom{-}0 \end{matrix} \right]. \end{equation}
      Rotacija ravnine za pravi kut oko ishodišta. Primijetite da (za razliku od svih primjera do sada) vektori \(\mathbf Av\) i \(\mathbf v\) ne mogu nikada biti paralelni. To znači da matrica \(\mathbf A\) nema realnih vlastitih vrijednosti. To su \(\pm i\), gdje je \(i\) imaginarna jedinica. Također primijetite da se vektori kanonske baze \(\mathbf i\) i \(\mathbf j\) preslikavaju točno u prvi i drugi stupac matrice rotacije (a to su vektori \(\mathbf j\) i \(-\mathbf i\)).

      Njen naziv je jasan, jer vrijedi \(\mathbf{J}^2 = -\mathbf I\) (provjerite).

  • Zrcaljenje. Ako želimo zrcaliti ravninu s obzirom na bilo koji pravac kroz ishodište, \(y = kx\), najprije nađemo odgovarajući kut \(\varphi = \mathrm{arc\,tg} k\), te računamo matrične koeficijente \(a = \cos 2\varphi\), \(b = \sin 2\varphi\), \(c = \sin 2\varphi\), \(d = -\cos 2\varphi\); \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} \cos 2\varphi&\phantom{-}\sin 2\varphi\\ \sin 2\varphi&-\cos 2\varphi \end{matrix} \right]. \end{equation} Ako je \(\mathbf A\) matrica zrcaljenja, onda je \(\det \mathbf A = -1\), jer je $$ \det \textbf A = ad - bc = -\cos^2\varphi - \sin^2\varphi = -1. $$ U programima za vizualizaciju unosi se samo kut \(\varphi\), nakon čega se obavlja zrcaljenje s obzirom na pravac \(y = (\mathrm{tg}\,\varphi)\, x\).
    Za operator zrcaljenja s obzirom na pravac \(y=x\) je \(\varphi = \pi/4\) radijana. Jasno je da je \(\mathbf A\mathbf i = \mathbf j\) i \(\mathbf A\mathbf j = \mathbf i\), pa je odgovarajuća matrica zrcaljenja s obzirom na taj pravac jednaka $$ {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 0&1\\ 1&0 \end{matrix} \right]. $$
    Za operator zrcaljenja s obzirom na pravac \(y=x\) imamo dvije vlastite vrijednosti \(\lambda_{1,2}=\pm1\),
    a pripadajući vlastiti podprostori su pravci \(y=\pm x\).
    U novoj bazi \(\mathbf e_1=\mathbf i+\mathbf j\) i \(\mathbf e_2=\mathbf i-\mathbf j\) je \(\mathbf A\mathbf e_1=1\cdot\mathbf e_1\) i \(\mathbf A\mathbf e_2=-1\cdot\mathbf e_2\), tj. matrica \(\mathbf A\) se u toj bazi dijagonalizira. Drugim riječima, matrica \(\mathbf A\) je slična dijagonalnoj matrici \(\mathbf D=\left[ \begin{matrix} 1&\phantom{-}0\\ 0&-1 \end{matrix} \right]\), tj. \(\mathbf T^{-1}\mathbf A\mathbf T=\mathbf D\), gdje je \(\mathbf T=\left[ \begin{matrix} 1&\phantom{-}1\\ 1&-1 \end{matrix} \right]\) matrica prijelaza iz kanonske baze \(\{\mathbf i,\mathbf j\}\) u novu bazu \(\{\mathbf e_1, \mathbf e_2\}\).

• Nekomutativnost množenja matrica je lako ilustrirati na ovom geometrijskom primjeru. Neka je \(\mathbf A\) matrica zakošenja s parametrom \(b\) koji nije nula (tako da je \(\mathbf {Ai} = \mathbf i\) i \(\mathbf{Aj} = b\mathbf i + \mathbf j)\), i \(\mathbf J\) matrica rotacije za \(90^{\circ}\) (tako da je \(\mathbf Ji = \mathbf j\) i \(\mathbf Jj = -\mathbf i\)). Onda je \(\mathbf{AJi} = \mathbf{Aj} = b\mathbf i + \mathbf j\), ali \(\mathbf{JAi} = \mathbf J\mathbf i =\mathbf j\). Dakle, matrica \(\mathbf{AJ}\) nije jednaka \(\mathbf{JA}\).

• Svaki kompleksni broj \(z = x + iy\) može se poistovjetiti s matricom \(\mathbf A\) kod koje stavljamo \(a = x\), \(b = -y\), \(c = y\), \(d = x\): \begin{equation}
  {\mathbf A}=
  \left[ \begin{matrix} x&-y\\ y&\phantom{-}x \end{matrix} \right]. \end{equation}
  
  
  U ovom primjeru je \(\mathbf A=\mathbf I+\mathbf J\), tj. \(x=1\) i \(y=1\) u diskusiji koja slijedi. Matrica \(\mathbf A\) rasteže vektor \(v\) s faktorom \(\sqrt 2\) i zatim ga rotira za kut od \(\pi/4\) radijana. Pokušajte se u to uvjeriti računom.

  Ovdje imamo općenito \(\mathbf A = x\mathbf I + y\mathbf J\), gdje je \(\mathbf J\) matrična imaginarna jedinica, jer \(\mathbf J^2 = -\mathbf I\). Time smo dobili pridruživanje

  $$ x+ iy \longrightarrow x\mathbf I + y\mathbf J $$ iz skupa kompleksnih brojeva \(\mathbb C\) u skup matrica reda dva, \(M_{2,2}\). Jasno je da zbroju dvaju kompleksnih brojeva odgovara zbroj pripadnih matrica. Zanimljivo je da i umnošku dvaju kompleksnih brojeva odgovara umnožak pripadnih matrica. Naime, za kompleksne brojeve vrijedi: $$ (x+ yi)(u + vi) = (xu - yv) + (xv + yu)i, $$ kao i za pripadajuće matrice: $$ (x\mathbf I + y\mathbf J)(u\mathbf I + v\mathbf J) = (xu - yv)\mathbf I + (xv + yu\mathbf J), $$ gdje su \(x\), \(y\), \(u\), \(v\) zadani realni brojevi, a \(i\) je imaginarna jedinica, \(i^2 = -1\).
  • Za gore navedenu matricu \(\mathbf A = x\mathbf I + y\mathbf J\) pripadna geometrijska transformacija platna sastoji se od kompozicije ovih dviju transformacija:
    • homotetije ravnine s faktorom \(r = (x^2 + y^2)^{1/2}\), tj. svaki vektor se množi s \(r\);
    • rotacije za kut \(\varphi = \mathrm{arc\,tg}(y/x)\).
    Primijetite da je \(x + iy = r \,e^{i\varphi}\) (Eulerova formula), \(x = r \cos \varphi\), \(y = r \sin\varphi\).
    • Ako je \(r =1\) matrica \(\mathbf A = x\mathbf I + y\mathbf J\) daje samo rotaciju za kut \(\varphi\), tj. \(x = \cos\varphi\) i \(y = \sin\varphi\), i to je u skladu s prethodnom diskusijom o ortogonalnim matricama (vidi rotaciju).

• Ako zamislimo da početni lik u \(x,y\)-ravnini ima osnovicu i visinu duljina \(1\), onda je pripadni vektor osnovice jednak \(i\), a vektor visine je \(j\). Vektor osnovice početnog lika (\(x = 1\), \(y =0\)) se preslika u vektor \(a\mathbf i + c\mathbf j\) (jer \(x' = ax + by = a\), \(y' = cx + dy = c\)), a vektor visine (\(x = 0\), \(y = 1\)) se transformira u \(b\mathbf i + d\mathbf j\) (jer je tu \(x' = b\), \(y' = d\)). Transformirani lik u \(x',y'\)-ravnini je paralelogram, a njegova površina \(P'\) dobiva se računanjem apsolutne vrijednosti ex - produkta vektora pripadnih stranica: \begin{aligned} P' &= |(a\mathbf i + c\mathbf j)\times (b\mathbf i + d\mathbf j)|\\ &= |(ad - bc)\mathbf k|\\ &= |ad - bc|\\ &= |\det \mathbf A| \end{aligned} Drugim riječima, ako je na platnu zadan jedinični kvadrat, on će se transformirati u paralelogram, površine točno \(|\det\mathbf A|\).
  • Ako je matrica \(\mathbf A\) gornja trokutasta, tj. \(c = 0\), \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} a&b\\ 0&d \end{matrix} \right], \end{equation} onda uz pretpostavku da je \(P\) jedinični kvadrat vrijedi \(P' = |\det\mathbf A| = |ad|\) (determinanta gornje trokutaste matrice je umnožak dijagonalnih elemenata matrice \(\mathbf A\)). Vrijednost površine paralelograma \(\mathbf P'\) ne ovisi o koeficijentu zakošenja \(b\). To je u vezi s time što je površina paralelograma jednaka umnošku osnovice \(|a|\) i visine \(|d|\).

• Površina \(P\) početnog lika (na platnu) i površina \(P'\) transformiranog lika su povezane ovako: $$ P' = |\det \mathbf A| P.$$ Ta činjenica je specijalan slučaj formule za zamjenu varijabala u dvostrukom integralu, koja uključuje pojam Jacobijana. Doista, Jacobijan \(J(f,g)\) funkcije iz \(\mathbb R^2\) u \(\mathbb R^2\) zadane s komponentnim funkcijama \begin{aligned} x' &= f(x,y)\\ y' &= g(x,y) \end{aligned} je za linearnu transformaciju ravnine definiranu sa \(f(x,y) = ax + by\) i \(g(x,y) = cx + dy\) jednak točno $$ J(f,g) = \det \mathbf A. $$ Podsjetimo se, Jacobijan se definira s pomoću determinante matrice parcijalnih derivacija prvog reda: \begin{equation}
  J(f,g)= \left| \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x}&\frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}&\frac{\partial g}{\partial y}\end{matrix} \right|=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g}{\partial x} . \end{equation} Zanimljivo je da formula \(P' = |\det \mathbf A| P\) vrijedi i za bilo koji omeđen lik površine \(P\), ne samo za jedinični kvadrat. To slijedi odmah iz formule za zamjenu varijabala u dvostrukom integralu.

• Vektori kanonske baze \(\mathbf i\) i \(\mathbf j\) određuju t. zv. desni koordinatni sustav (tu je i poredak vektora \(\mathbf i\) i \(\mathbf j\) bitan; vidi [Elezović], Odjeljak 5.3). Vektori \(\mathbf j\) i \(\mathbf i\) određuju lijevi koordinatni sustav (u tom poretku). Ako je matrica \(\mathbf A\) regularna onda i preslikani vektori \(\mathbf i' = \mathbf{Ai}\) i \(\mathbf j' = \mathbf{Aj}\) čine bazu u ravnini (platna), i to:
  • ako je \(\det \mathbf A > 0\) onda vektori \(\mathbf i'\) i \(\mathbf j'\) određuju također desni koordinatni sustav (u tom poretku);
  • ako je \(\det\mathbf A <0\) onda vektori \(\mathbf i'\) i \(\mathbf j'\) određuju lijevi koordinatni sustav.
  Na slici se to vidi ovako. Ako je \(\det\mathbf A < 0\) onda transformirani lik ima promijenjenu orijentaciju u odnosu na početni. Ako je \(\det\mathbf A >0\), orijentacija lika ostaje ista.

• Za vektor \(v\) kažemo da je vlastiti vektor kvadratne matrice \(\mathbf A\) ako je različit od nul-vektora, i postoji realan (ili kompleksan) broj \(\lambda\) takav da je \(\mathbf Av =\lambda v\). Taj broj \(\lambda\) zove se vlastita vrijednost matrice.
  • Ako postoji netrivijalan vektor \(v\) (tj. \(v\ne 0\)) takav da je paralelan s vektorom \(\mathbf Av\), onda je on vlastiti vektor matrice \(\mathbf A\), jer to znači da vrijedi \(\mathbf Av =\lambda v\) za neki realan broj \(\lambda\). Taj \(\lambda\) je onda upravo pripadna vlastita vrijednost.
  • Pogledajmo kao primjer ovu matricu: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 2&\phantom{-}0\\0&-1 \end{matrix} \right]\end{equation}

    Za nju vrijedi \(\mathbf{Ai} = 2\mathbf i\) i \(\mathbf{Aj} = -\mathbf j\). Prema tome, vlastite vrijednosti ove matrice su \(2\) i \(-1\). Vlastiti podprostor za \(\lambda_1 = 2\) je \(x\)-os, a vlastiti podprostor za \(\lambda_2 =-1\) je \(y\)-os.

  • Odredite vlastite vrijednosti i pripadne vlastite podprostore matrice \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} 2&\phantom{-}1\\0&-1 \end{matrix} \right]\end{equation} najprije "eksperimentalno" - s pomoću miša (na dolnjem platnu), a zatim računom - za ovo drugo će vam trebati olovka i papir, a ne miš :)

    Vlastite vrijednosti su \(2\) i \(-1\), a pripadni vlastiti vektori su \(\mathbf i\) i \(\mathbf i -3\mathbf j\). Kod gornje trokutaste matrice \(\mathbf A\) (kao što je slučaj ovdje), njene vlastite vrijednosti su brojevi na dijagonali. Različitim vlastitim vrijednostima odgovaraju linearno nezavisni vlastiti vektori.

  • Odredite eksperimentalnim putem realne vlastite vektore i pripadne vlastite podprostore za sve matrice na ovoj internetskoj stranici (vrlo je lagano).

  • Uvjerite se eksperimentalno da matrica rotacije ravnine za \(90^{\circ}\) nema realnih vlastitih vrijednosti.
    • Mali račun pokazuje da su njene vlastite vrijednosti \(i=\sqrt{-1} \) te \(-i\). To su naime nul-točke karakterističnog polinoma \(\kappa(\lambda) =\lambda^2 + 1\). Podsjetimo se, karakteristični polinom matrice \(\mathbf A\) definira se kao $$\kappa (\lambda) = \det(\lambda\mathbf I - \mathbf A).$$

  • Algebarska kratnost vlastite vrijednosti \(\lambda_1\) matrice \(\mathbf A\) definira se kao kratnost nultočke \(\lambda_1\) karakterističnog polinoma \(\kappa(\lambda)\). Geometrijska kratnost vlastite vrijednosti \(\lambda_1\) definira se kao dimenzija pripadnog vlastitog podprostora.
    • U prethodna dva primjera algebarska i geometrijska kratnost obiju vlastitih vrijednosti su \(1\).
    • Jedine matrice reda \(2\) kod kojih su geometrijska i algebarska kratnost jednake \(2\) su oblika \(\mathbf A =\lambda\mathbf I\).
      • Na pr., geometrijska i algebarska kratnost vlastite vrijednosti su obje \(2\) kod jedinične matrice \(\mathbf A = \mathbf I\) (jedina vlastita vrijednost je \(\lambda = 1\)), matrice centralne simetrije \(\mathbf A = -\mathbf I\), (vlastita vrijednost je \(\lambda = -1\)), i nul-matrice \(\mathbf A = 0\) (vlastita vrijednost je \(\lambda = 0\)).
    • Matrica zakošenja ima vlastitu vrijednost 1 algebarske kratnosti dva, ali geometrijske kratnosti jedan ako koeficijent zakošenja nije nula. Naime, pripadni vlastiti podprostor je jednodimenzionalan: \(x\)-os.
  • Za matricu \(\mathbf A\) kažemo da je slična matrici \(\mathbf B\) ako postoji regularna matrica \(\mathbf T\) takva da je $$ \mathbf B = \mathbf{T^{-1}AT}. $$
    • Matrica \(\mathbf A\) je slična nekoj dijagonalnoj matrici \(\mathbf B\) onda i samo onda ako postoji baza sastavljena od vlastitih vektora matrice \(\mathbf A\). Kažemo da se matrica \(\mathbf A\) može dijagonalizirati (u toj bazi). Matrica prijelaza \(\mathbf T\) dobije se kao matrica prijelaza iz kanonske baze u tu bazu, tj. vektori stupci matrice \(\mathbf T\) su upravo vlastiti vektori matrice A prikazani u kanonskoj bazi. Ako su sve vlastite vrijednosti realne i međusobno različite, onda se matrica može dijagonalizirati.
      • Svaka simetrična matrica slična je dijagonalnoj. Njene vlastite vrijednost su realne, i postoji ortonormirana baza vlastitih vektora. Prema tome, matrica sličnosti koja dijagonalizira simetričnu matricu može se odabrati da bude ortogonalna matrica (vektori stupci joj čine ortonormiranu bazu). Evo jedan primjer simetrične matrice: \begin{equation} {\mathbf A}= \left[ \begin{matrix} -1&1\\ \phantom{-}1&0 \end{matrix} \right]\end{equation}

        Kružnica u ravnini sa središtem u ishodištu se simetričnom matricom preslikava uvijek u elipsu. Glavne osi elipse su vlastiti podprostori simetrične matrice (ucrtane tanje). Omjer duljina poluosi elipse jednak je \(|\lambda_1/\lambda_2|\), gdje su \(\lambda_{1,2}\) vlastite vrijednosti matrice. Matrica \(\mathbf A\) je slična matrici \(\mathbf{B} = \mathrm{diag} (\lambda_1,\lambda_2)\). U ovom primjeru je

        \begin{aligned} \lambda_1 &= \frac{-1-\sqrt5}2 = -1.618\\ \lambda_2 &= \frac{-1+\sqrt5}2 = 0.618\dots \end{aligned} a odgovarajući vlastiti vektori su \begin{aligned} v_1 &=\Big(\frac{-1-\sqrt5}2, 1\Big)^{\top},\\ v_2 &= \Big(\frac{-1+\sqrt5}2, 1\Big)^{\top}. \end{aligned}

        Vlastiti vektori su okomiti: \((v_1|v_2) = 0\). Matrica sličnosti je \(S = [w_1, w_2]\), gdje su vektori stupci \(w_1\) i \(w_2\) normirani vlastiti vektori od \(\mathbf A\) (prema tome matrica \(\mathbf S\) je ortogonalna, tj. \(\mathbf S^{-1} = \mathbf S^{\top}\), vidi [Elezović]):

        \begin{aligned} w_1 &= \frac{v_1}{\|v_1\|}\\ w_2 &= \frac{v_2}{\|v_2\|}. \end{aligned} Drugim riječima, $$\mathbf {S^{\top}AS} = \left[ \begin{matrix}\lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{matrix}\right]. $$

        Broj \(\frac{\sqrt 5+1}2\approx 1.61\) zove se zlatni omjer ili zlatni broj (ili božanski omjer). U ovom su omjeru definirani svi žuti pravokutnici u ovom prikazu (širina ima je 640 pixela, a visina 400 pixela, pa je omjer \(\frac{640}{400}=\frac{16}{10}=1.6\) jednak zlatnom omjeru do na prvu decimalu; u likovnim umjetnostima se smatra da je takav pravokutnik 'oku najugodniji'). Glavna dijagonala gornjeg žutog pravokutnika je skoro točno dio vlastitog podprostora (u ovom slučaju dijagonalnog pravca) koji odgovara drugoj vlastitoj vrijednosti \(\lambda_1\) matrice \(\mathbf A\), čiji iznos je minus zlatni broj. Često se i broj \(\frac{\sqrt 5-1}2\approx 0.61\) (a to je upravo \(\lambda_2\)) zove zlatnim brojem.

        • Jedinična (zelena) kružnica \(x^2 + y^2 = 1\) se matricom \(\mathbf A\) preslika u (kosu, tamno plavu) elipsu
          $$ (x')^2 + 2(y')^2 - 2x'y' = 1. $$

          Njena jednadžba u prirodnom koordinatnom sustavu \((x'',y'')\) (koji je ucrtan tankom linijom), glasi

          $$ \frac{(x'')^2}{\lambda_1^2} + \frac{(y'')^2}{\lambda_2^2} = 1. $$

        Na lijevoj strani je kvadratna forma generirana simetričnom matricom $$ \mathbf A^{-2}=\mathbf A^{-1}\mathbf A^{-1}= \left[ \begin{matrix}0& 1\\ 1& 1 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 0& 1\\ 1& 1 \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 1&1\\ 1&2\end{matrix}\right]. $$ Doista, uz pretpostavku da je simetrična matrica \(\mathbf A\) regularna, iz \(v' = \mathbf Av \) dobivamo

        \begin{aligned} 1 &=(v|v) = (\mathbf A^{-1}v'|\mathbf A^{-1}v') = (\mathbf A^{-1})^{\top}\mathbf A^{-1}v'|v')\\ &= (\mathbf A^{-2}v'|v'). \end{aligned}

        Vlastite vrijednosti matrice \(A^{-2}\) su \(\lambda_i^{-2}\), a vlastiti vektori su isti kao kod \(\mathbf A\).

      • primjer dijagonalne matrice.

  • Matrica zakošenja nije slična dijagonalnoj (tj. ne može se dijagonalizirati) ako koeficijent zakošenja b nije nula. Doista, algebarska i geometrijska kratnost vlastite vrijednosti 1 se za tu matricu ne podudaraju:
    • algebarska kratnost je dva, jer \(\kappa(\lambda) =(\lambda-1)^2\),
    • a geometrijska kratnosti iznosi samo jedan (i to se lijepo vidi na slici).

  • Matrice A i B iz dvaju gore navedenih primjera su slične. Vlastiti vektori matrice \(\mathbf A\) su \(\mathbf i = 1\mathbf i + 0\mathbf j\), te \(\mathbf i + 3\mathbf j\), pa je matrica prijelaza koja dijagonalizira matricu \(\mathbf A\) jednaka \begin{equation}
    {\mathbf T}=
    \left[ \begin{matrix} 1&1\\ 0&3 \end{matrix} \right]\end{equation}

    tj. \(\mathbf{T^{-1}AT} = \mathbf B\). Matrica \(\mathbf A\) nije simetrična. Primijetite da joj (za razliku od simetričnih matrica) vlastiti vektori koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima nisu međusobno okomiti.

---

Eksponencijalna funkcija matrice i linearni dinamički sustavi

---

Godine 2007. u Zagrebu je pokrenut novi znanstveni časopis iz matematike pod naslovom Operators and Matrices (Operatori i matrice) specijaliziran za područje linearne algebre. Časopis izlazi četiri puta godišnje, a u kratko vrijeme je stekao visoki međunarodni ugled.

Godine 2009. su dvojica hrvatskih matematičara, profesori Krešimir Veselić i Zlatko Drmač, dobili uglednu nagradu Linear Algebra Prize koju dodjeljuje međunarodna znanstvena organizacija SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics)  za značajne radove iz tog područja.

---

Literatura

1. Neven Elezović: Linearna algebra, Element, Zagreb
2. Andreja Aglić, Neven Elezović: Zbirka zadataka iz linearne algebre, Element, Zagreb
3. Neven Elezović: Kompleksni brojevi, Element, Zagreb
4. Neven Elezović, Andrea Aglić Aljinović, Darko Žubrinić: Linearna algebra, Element, Zagreb 2020.

---

U prvobitnoj inačici ovog prikaza sudjelovali su 2003. g. Tvrtko Bedeković i Borko Jandras, tada studenti 2. godine FER-a, sa svojim alatima za matrične transformacije ravnine, načinjenim na sugestiju D.Ž. Nažalost, razvoj tehnologije je te alate tijekom godina učinio neupotrebljivim.

Ova je mrežna stranica zrcaljena na Odjelu za matematiku Sveučilištu Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. Zahvaljujemo prof. dr. Mariu Essertu.

---

Matematika za osnovne i srednje škole

Matematičke šale

History of Croatian science

Školovanje Nikole Tesle u Hrvatskoj